[小學學除法時，一定學過：「被除式\(=\)除式\(\times\)商式\(+\)餘式」，這就是數的除法原理。開個玩笑，發音發得不標準，聽起來就像是「被除式\(=\)除式\(\times\)商式\(+\)餘式」，數的除法原理就變成多項式的除法原理了。玩笑歸玩笑，還是要嚴謹地介紹多項式的除法原理，畢竟多項式中有許多重要的定理可都是來自它。

多項式除法原理

給定兩個多項式 \(f(x)\) 與 \(g(x)\)，其中 \(g(x)\) 不是零多項式，則存在唯一的一組多項式 \(q(x)\) 與 \(r(x)\)，使得：
f(x) = g(x) * q(x) + r(x)
其中 \(f(x)\) 為被除式，\(g(x)\) 為除式，\(q(x)\) 為商式，\(r(x)\) 為餘式。若餘式 \(r(x)=0\)，則稱 \(f(x)\) 被 \(g(x)\) 整除。

餘式定理：

若將一個多項式 \(f(x)\) 除以一個一次多項式 \(g(x)=x-a\)，則餘式等於 \(f(x)\) 在點 \(x=a\) 的值。

多項式長除法：

多項式長除法是一種演算法，可以將多項式 \(f(x)\) 除以多項式 \(g(x)\)，得到商式 \(q(x)\) 與餘式 \(r(x)\) 的數值。具體步驟如下：

1. 將 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 按降冪排列。
2. 將 \(g(x)\) 的首項與 \(f(x)\) 的首項相除，得到一個商式元素。
3. 將商式元素與 \(g(x)\) 相乘，得到一個中間多項式。
4. 將中間多項式從 \(f(x)\) 中減去，得到一個新多項式。
5. 重複步驟 2-4，直到新多項式的次數低於 \(g(x)\)。
6. 新多項式即為餘式，從商式元素得到的數值按逆序排列即為商式。

多項式的因式分解：

若已知多項式 \(P(x)\) 的一個根 \(r\)，則 \(P(x)\) 可以分解為：
P(x) = (x-r) * Q(x)
其中 \(Q(x)\) 是一個次數低於 \(n-1\) 的多項式。此方法可以利用多項式長除法來求解。

多項式除法的應用：

多項式除法在數學中具有廣泛的應用，例如：

• 驗證多項式的因式
• 求解方程式，如 \(f(x)=0\)
• 求解多項式的最大公因式
• 計算多項式函數的極值
• 證明數學定理，如餘式定理和因式定理】

除式公式：求解整數除法的數學工具

在數論中，除式公式是一個重要的公式，用於確定整數除法的結果和餘數。

除式公式如下：

md
a = bq + r

其中：

• a 是被除數
• b 是除數
• q 是商（即整數部分）
• r 是餘數（非負整數，且小於除數）

使用除式公式

要使用除式公式，請按照以下步驟操作：

1. 將被除數除以除數，得到一個商 q 和一個餘數 r。
2. 確保餘數 r 非負且小於除數 b。
3. 將結果代入除式公式：a = bq + r。

除式公式的用途

除式公式在整數數論中用途廣泛，包括：

• 求解線性同餘方程式
• 計算最大公約數（GCD）和最小公倍數（LCM）
• 解決分數除法問題
• 進行模算術計算

例如，求解整數除法問題 43 ÷ 8：

1. 43 除以 8 得到商 5 和餘數 3。
2. 餘數 3 非負且小於 8。
3. 代入除式公式：43 = 8 × 5 + 3。

因此，43 除以 8 的商為 5，餘數為 3。

埃氏篩法中的除式公式

埃氏篩法是一種尋找質數的演算法，它也使用 除式公式。在埃氏篩法中，從 2 開始依序對每個正整數檢查質數性。對於每個數 a：

延伸閲讀…

除法原理、餘式定理與因式定理 – 科學Online

多項式除法- 維基百科，自由的百科全書

1. 找出所有小於等於 sqrt(a) 的質數。
2. 對於每個質數 p，檢查 a 能否整除（餘數為 0）。
3. 如果 a 能整除 p，將 a 標記為合數（非質數）。
4. 如果 a 不能整除任何質數，將 a 標記為質數。

通過逐步淘汰所有合數，埃氏篩法可以有效地確定給定範圍內的質數。

表格：除式公式的範例